Научная библиотека

Автор(ы)

Наац И. Э., Наац В. И., Рыскаленко Р. А., Ярцева Е. П.

Организация (и)

Северо-Кавказский федеральный университет

Название

ОПЕРАТОРЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОГО АНАЛИЗА

Аннотация

Рассматриваются эмпирические функции, заданные приближенно, например, на основе некоторых измерений наблюдаемого процесса или явления, полученных в эксперименте. Подобные функции часто встречаются в задачах математической физики и соответствующих численных моделях, использующих эти данные. При этом актуальной является задача восстановления или конструирования исходной функции по приближенным данным, которая решается в рамках конструктивной теории функций и теории приближения функций. В работе реализуется подход, согласно которому исследуемые функции представляются так называемыми сингулярными интегралами. В ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Подобный подход заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным. При этом, те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией излагаемого метода в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений функций на основе сингулярных интегралов.

В настоящей работе исследуемая функция представляется в виде интеграла Римана-Стилтьеса, на основе этого представления формулируется соответствующая оптимизационная задача и определяется ее решение. Рассматриваются примеры интегралов представления исследуемой функции и соответствующие схемы вычислений. Исследуются свойства получаемых приближенных решений и их связь со свойствами исходных функций. Излагается техника обобщенного дифференцирования интегралов представления функций, рассматриваются вопросы регуляризации сходимости интегральных операторов обобщенного дифференцирования. Приводится пример конструирования интегралов Стилтьеса на основе заданного множества параметризованных функций, формулируются и доказываются две леммы, определяющих выбор параметров соответствующей вычислительной модели.

Ключевые слова

эмпирическая функция, теория приближения функций, интеграл Римана – Стилтьеса, задачи прикладного анализа, сингулярные интегралы, операторы обобщенного дифференцирования.